Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），左焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点，将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件c=$\sqrt{3}$，由椭圆的性质可知a²=b²+3，将椭圆方程转化成，$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+3}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，将点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入方程即可求得a和b的值，即可求椭圆C的方程；
（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|表示为m的函数，通过基本不等式求解弦长的最大值．

解答 解：（1）椭圆的焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），则c=$\sqrt{3}$．
a²=b²+c²，即a²=b²+3，
则椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+3}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，将点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程得：
$\frac{1}{{b}^{2}+3}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=4，
∴椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意知，|m|≥1．
当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）此时丨AB丨=$\sqrt{3}$； 
当m=-1时，同理可丨AB丨=$\sqrt{3}$，…（5分）
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得：（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则△=64k⁴m²-16（1+4k²）（4k²m²-4）=48k²＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由与x²+y²=1相切，$\frac{丨km丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²k²=k²+1，得k²=$\frac{1}{{m}^{2}-1}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{64{k}^{4}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（4{k}^{2}{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}]}$=$\frac{4\sqrt{3}丨m丨}{{m}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\frac{4\sqrt{3}丨m丨}{{m}^{2}+1}$，
|m|＞1，|AB|=$\frac{4\sqrt{3}丨m丨}{{m}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{3}}{丨m丨+\frac{3}{丨m丨}}$≤2，
当且仅当m=±$\sqrt{3}$时，|AB|=2，
由于当m=±1时，|AB|=$\sqrt{3}$，
综上可知：|AB|的最大值为2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用，属于中档题．