Question

13．将边长为a的正方形白铁皮，在它的四角各剪去一个小正方形（剪去的四个小正方形全等）然后弯折成一只无盖的盒子，问：剪去的小正方形边长为多少时，制成的盒子容积最大？

Answer 1

分析 首先由题意建立起无盖铁盒的体积函数，变形成为（a-2x）•（a-2x）•4x，分析得到其“和”是定值，联想到利用基本不等式求最值，即可得出结论

解答 解：设剪去的小正方形的边长为x，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），则无盖铁盒体积V=（a-2x）²•x．
所以：V=（a-2x）²•x=$\frac{1}{4}$（a-2x）•（a-2x）•4x≤$\frac{1}{4}•[\frac{（a-2x）+（a-2x）+4x}{3}]^{3}$=$\frac{2}{27}{a}^{3}$，
当且仅当a-2x=4x时，即x=$\frac{a}{6}$时取得最大值$\frac{2}{27}{a}^{3}$．

点评 此题主要考查利用基本不等式求最值在实际问题中的应用．前提是“一正二定三相等”，需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．然后应用不等式即可．