Question

3．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（9，x），$\overrightarrow{c}$=（4，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$
（1）求$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$
（2）若$\overrightarrow{m}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$，求向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$的夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$求出x的值，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$求出y的值，从而得出$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$；
（2）计算$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$，利用平面向量夹角的公式求出cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞，即得夹角的大小．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$得3x-4×9=0，解得x=12；
由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$得9×4+xy=0，
解得y=-$\frac{36}{x}$=-$\frac{36}{12}$=-3；
所以$\overrightarrow{b}$=（9，12），$\overrightarrow{c}$=（4，-3）；
（2）$\overrightarrow{m}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-3，-4），
$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=（7，1）；
所以$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-3×7-4×1=-25，
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（-3）}^{2}{+（-4）}^{2}}$=5，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{7}^{2}{+1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-25}{5×5\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．