Question

18．已知实数a，b∈R，若a²-ab+b²=3，则$\frac{{{{（1+ab）}^2}}}{{{a^2}+{b^2}+1}}$的值域为$[0，\frac{16}{7}]$．

Answer 1

分析 a²-ab+b²=3，可得ab+3=a²+b²≥2|ab|，因此-1≤ab≤3，令ab=t∈[-1，3]．$\frac{{{{（1+ab）}^2}}}{{{a^2}+{b^2}+1}}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t+4}$=t-2+$\frac{9}{t+4}$=f（t）．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵a²-ab+b²=3，
∴ab+3=a²+b²≥2|ab|，∴-1≤ab≤3，当且仅当a=b=±$\sqrt{3}$时取右边等号，ab=-1时取左边等号．
令ab=t∈[-1，3]．
则$\frac{{{{（1+ab）}^2}}}{{{a^2}+{b^2}+1}}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t+4}$=t-2+$\frac{9}{t+4}$=f（t）．
f′（t）=1-$\frac{9}{（t+4）^{2}}$=$\frac{{t}^{2}+8t+7}{（t+4）^{2}}$=$\frac{（t+1）（t+7）}{（t+4）^{2}}$
∴f（t）在[-1，3]上单调递增．
f（-1）=0，f（3）=$\frac{16}{7}$．
∴f（t）∈$[0，\frac{16}{7}]$．
故答案为：$[0，\frac{16}{7}]$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．