Question

9．已知x＞y＞0，且x+y≤2，则$\frac{4}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由条件可得x+3y＞0，x-y＞0，[（x+3y）+（x-y）]（$\frac{4}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$）=5+$\frac{4（x-y）}{x+3y}$+$\frac{x+3y}{x-y}$，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值．

解答 解：由x＞y＞0，可得x+3y＞0，x-y＞0，
[（x+3y）+（x-y）]（$\frac{4}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$）=5+$\frac{4（x-y）}{x+3y}$+$\frac{x+3y}{x-y}$
≥5+2$\sqrt{\frac{4（x-y）}{x+3y}•\frac{x+3y}{x-y}}$=9，
可得$\frac{4}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$≥$\frac{9}{（x+3y）+（x-y）}$
=$\frac{9}{2（x+y）}$≥$\frac{9}{4}$．
当且仅当2（x-y）=x+3y，即x=5y=$\frac{5}{3}$时，取得最小值$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查最值的求法，注意变形和基本不等式的运用，以及不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．