Question

1．已知关于x的不等式ax²+3x+2＞0（a∈R）．
（1）若不等式ax²+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求a，b的值．
（2）求关于x的不等式ax²+3x+2＞-ax-1（其中a＞0）的解集．

Answer 1

分析 （1）将x=1代入ax²+3x+2=0求出a的值，再求对应不等式的解集，从而求出b的值；
（2）把不等式ax²+3x+2＞-ax-1化为（ax+3）（x+1）＞0，讨论a的取值，从而求出对应不等式的解集．

解答 解：（1）将x=1代入ax²+3x+2=0，得a=-5；…（2分）
所以不等式ax²+3x+2＞0为-5x²+3x+2＞0，
再转化为（x-1）（5x+2）＜0，
所以原不等式解集为{x|-$\frac{2}{5}$＜x＜1}，
所以b=-$\frac{2}{5}$；…（5分）
（2）不等式ax²+3x+2＞-ax-1可化为ax²+（a+3）x+3＞0，
即（ax+3）（x+1）＞0；…（6分）
当0＜a＜3时，-$\frac{3}{a}$＜-1，不等式的解集为{x|x＞-1或x＜-$\frac{3}{a}$}；
当a=3时，-$\frac{3}{a}$=-1，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＞3时，-$\frac{3}{a}$＞-1，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞-$\frac{3}{a}$}；
综上所述，原不等式解集为
①当0＜a＜3时，{x|x＜-$\frac{3}{a}$或x＞-1}，
②当a=3时，{x|x≠-1}，
③当a＞3时，{x|x＜-1或x＞-$\frac{3}{a}$}．…（12分）

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是综合性题目．