Question

1．已知a＞0，b＞0，c＞0，用综合法证明：$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}{b}$+$\frac{a+b}{c}$≥6．

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，c＞0，运用基本不等式，可得$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2，$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$≥2，$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$≥2，相加即可得证．

解答 证明：a＞0，b＞0，c＞0，可得
$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2，
$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$≥2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{a}{c}}$=2，
$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$≥2$\sqrt{\frac{c}{b}•\frac{b}{c}}$=2，
相加可得（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）≥6，
即为$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}{b}$+$\frac{a+b}{c}$≥6，
（当且仅当a=b=c取得等号）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二元均值不等式，考查推理能力，属于基础题．