Question

20．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，tan$\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（1）求sinα的值；
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式和同角的三角函数的关系即可求出，
（2）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
所以$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$．
又因为sin²α+cos²α=1，
解得sin α=$\frac{4}{5}$．
（2）因为0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
所以0＜β-α＜π．
因为cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
所以sin（β-α）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
因为0＜α＜$\frac{π}{2}$，sin α=$\frac{4}{5}$．
所以cos α=$\frac{3}{5}$，
所以sin β=sin[（β-α）+α]，
=sin（β-α）cos α+cos（β-α）sin α，
=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了二倍角公式和两角和的正弦公式以及同角的三角函数的关系，属于基础题．