Question

20．已知△ABC中cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，O为△ABC内心，2$\sqrt{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+m$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则m=（　　）

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 求出sinA，sinB，利用两角和的余弦公式计算cosC，根据内心的性质得出a$\overrightarrow{OA}$+b$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，令a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{10}$，则用余弦定理计算c即为m的值．

解答 解：∵cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
不妨设a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{10}$，则c²=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=5$\sqrt{2}$．
∵O为△ABC内心，∴a$\overrightarrow{OA}$+b$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，即2$\sqrt{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\sqrt{10}$$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．
∴m=c=5$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了三角形内心的性质，余弦定理，属于中档题．