Question

13．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且$\frac{A_n}{B_n}$=$\frac{6n+54}{n+5}$，则使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由于$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$=6+$\frac{12}{n+2}$，n的取值只要使得$\frac{12}{n+2}$为正整数即可得出．

解答 解：$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}{\frac{（2n-1）（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}{2}}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$=$\frac{6（2n-1）+54}{2n-1+5}$=$\frac{6n+24}{n+2}$=6+$\frac{12}{n+2}$，
当n=1，2，4，10时，$\frac{12}{n+2}$为正整数，即使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的值只有4个．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、整除的理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．