Question

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），B（2，0），|$\overrightarrow{OC}$|=1．
（1）求$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角；
（2）若$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OA}$垂直，求点C的坐标；
（3）求|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知，得到$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的坐标，然后根据数量积求夹角；
（2）由$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OA}$垂直，得到数量积为0，得到点C的坐标的方程解之；
（3）根据|$\overrightarrow{OC}$|=1，结合|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|的几何意义求最值．

解答 解：因为在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），B（2，0），所以$\overrightarrow{OA}=（1，1），\overrightarrow{OB}=（2，0）$，
所以（1）$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB|}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以夹角为45°；
（2）设$\overrightarrow{OC}$=（x，y）．因为$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OA}$垂直，又|$\overrightarrow{OC}$|=1．
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，所以C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），或C（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（3）由以上得到$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=（3+x，1+y），|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|²=（x+3）²+（y+1）²，又x²+y²=1，所以|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|的最大值为$\sqrt{10}+1$，最小值为$\sqrt{10}-1$．

点评 本题考查了平面向量的运算，采用了坐标化的方法，使问题代数化．属于中档题．