Question

18．函数f（x）=$\sqrt{2-4x}$+2$\sqrt{x+4}$的最大值为m，若正实数a，b满足a+b=m，则$\frac{4}{a}$+$\frac{9}{b}$的最小值为$\frac{25}{6}$．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的定义域为$[-4，\frac{1}{2}]$．由y=$\sqrt{2-4x}$+2$\sqrt{x+4}$两边平方可得：y²=18+4$\sqrt{-4（x+\frac{7}{4}）^{2}+\frac{81}{4}}$，利用二次函数的单调性可得：y≤6，m=6．
即a+b=6．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{2-4x≥0}\\{x+4≥0}\end{array}\right.$，解得$-4≤x≤\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的定义域为$[-4，\frac{1}{2}]$．
由y=$\sqrt{2-4x}$+2$\sqrt{x+4}$两边平方可得：y²=18+4$\sqrt{-4（x+\frac{7}{4}）^{2}+\frac{81}{4}}$≤18+4×$\frac{9}{2}$=36，当且仅当x=-$\frac{7}{4}$时取等号．
∴y≤6，∴m=6．
∴a+b=6．
又a，b＞0，∴$\frac{4}{a}$+$\frac{9}{b}$=$\frac{1}{6}$（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{9}{b}）$=$\frac{1}{6}（13+\frac{4b}{a}+\frac{9a}{b}）$≥$\frac{1}{6}（13+2\sqrt{\frac{4b}{a}×\frac{9a}{b}}）$=$\frac{25}{6}$，当且仅当2b=3a=$\frac{36}{5}$时取等号．
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{9}{b}$的最小值为$\frac{25}{6}$，
故答案为：$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性、不等式的解法、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．