Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3（n=4，5，…）则S_2n=8n²-3n．（n∈N⁺）

Answer 1

分析 由已知a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得到a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3，分别分n为奇数和偶数得到通项公式，进一步等差数列求和即可．

解答 解：由已知a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得到a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3，
所以n为偶数时a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3=…=a₂-a₁=3，a_n=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₂-a₁+a₁=$3×\frac{n}{2}+5×（\frac{n}{2}-1）$+1=4n-4，
n为奇数时a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3=…=a₃-a₂=5，a_n=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₂-a₁+a₁=$3×\frac{n-1}{2}+5×\frac{n-1}{2}$+1=4n-3，
所以S_2n=$4n+\frac{n（n-1）×8}{2}+n×1+\frac{n（n-1）×8}{2}$=8n²-3n
故答案为：8n²-3n．

点评 本题考查了数列求和，关键是从递推关系发现n为奇数和偶数时的通项公式，从而转化为等差数列求和．