Question

7．2014年12月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地6个储存牛肉的冷库有1个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒DNA来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止．
方案乙：将样品分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染牛肉在这三个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组样品中逐个进行化验．
（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？
（3）试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库．说明理由．

Answer 1

分析 （1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验；第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，
恰第一个样品含有病毒．由此能求出依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．
（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，分别求出相应的概率，由此能求出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元．
（3）由（2）知方案甲平均化验次数为E（ξ）=$\frac{10}{3}$，设方案乙化验的次数为?，则?可能的取值为2，3，P（?=2）=$\frac{1}{3}$，P（?=3）=$\frac{2}{3}$，由此能求出方案乙化验次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库．

解答 解：（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：
第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，
则恰含有病毒的概率为$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}×\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，
恰第一个样品含有病毒的概率为$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}×\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．
（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，
P（ξ=1）=P（η=10）=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=2）=P（η=18）=$\frac{5}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=3）=P（η=24）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=4）=P（η=30）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=5）=P（η=36）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
∴方案甲所需化验费用η的分布列为：

η	10	18	24	30	36
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

用方案甲平均需要化验费E（η）=$10×\frac{1}{6}+18×\frac{1}{6}+24×\frac{1}{6}+30×\frac{1}{6}+36×\frac{1}{3}$=$\frac{77}{3}$（元）．
（3）由（2）知方案甲平均化验次数为E（ξ）=$1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{6}+5×\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
设方案乙化验的次数为?，则?可能的取值为2，3，
P（?=2）=$\frac{1}{3}$，P（?=3）=1-$\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
∴E（?）=$2×\frac{1}{3}+3×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴E（ξ）＞E（?），
∴方案乙化验次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．