Question

17．求下列函数的值域．
（1）y=$\frac{1}{{x}^{2}+2}$；
（2）y=$\frac{2x-3}{x+1}$；
（3）y=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+1}$；
（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 分别根据分式函数的性质，换元法将函数进行转化求解即可得到结论．

解答 解：（1）∵x²+2≥2，∴y=$\frac{1}{{x}^{2}+2}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，则函数的值域为（0，$\frac{1}{2}$]；
（2）y=$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-5}{x+1}$=2-$\frac{5}{x+1}$，则y≠2，即函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）；
（3）y=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+1}$=$\sqrt{-（x-1）^{2}+2}$∈[0，$\sqrt{2}$]；即函数的值域为∈[0，$\sqrt{2}$]；
（4）由x-1≥0得x≥1，则函数的定义域为[1，+∞），
设t=$\sqrt{x-1}$，则t≥0，则x-1=t²，x=t²+1，
则函数等价为y=2（t²+1）-t=2t²-t+2=2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{8}$，
对称轴为t=$\frac{1}{4}$，
∵t≥0，∴y≥$\frac{15}{8}$，
即函数的值域为[$\frac{15}{8}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用分式函数的性质，换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数单调性的性质进行求解是解决本题的关键．