Question

8．已知△ABC的面积为S，在边AB上任取一点P，则△PAC的面积大于$\frac{S}{3}$的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PAC的面积大于$\frac{S}{3}$的概率，可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．

解答 解：记事件Ω={△PAC的面积大于$\frac{S}{3}$}，
基本事件空间是线段AB的长度，（如图
因为S△PAC≥$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$，则有$\frac{1}{2}AC•PE＞\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC•BD$；
化简记得到$\frac{PE}{BD}＞\frac{1}{3}$：，因为PE∥BD，则由三角形的相似性$\frac{AP}{AB}＞\frac{1}{3}$；
所以，事件Ω的几何度量为线段BP的长度，
因为AP=$\frac{1}{3}$AB，
所以P（Ω）=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{2}{3}$；
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．