Question

18．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（$\frac{1}{4}$a-sinC）cosB=sinBcosC，b=4$\sqrt{3}$．
（1）求角B的大小；
（2）D为BC边上一点，若AD=2，S_△DAC=2$\sqrt{3}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由（$\frac{1}{4}$a-sinC）cosB=sinBcosC，利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得$\frac{1}{4}$acosB=sinA，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵（$\frac{1}{4}$a-sinC）cosB=sinBcosC，
∴$\frac{1}{4}$acosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴$\frac{bcosB}{4sinB}$=1，
∴tanB=$\frac{b}{4}$=$\sqrt{3}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△DAC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×2×4\sqrt{3}$sin∠DAC，
∴sin∠DAC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜∠DAC＜$\frac{2π}{3}$，
∴∠DAC=$\frac{π}{6}$．
在△DAC中，DC²=${2}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}$-2×$2×4\sqrt{3}$cos$\frac{π}{6}$=28．
∴DC=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．