Question

8．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$，则g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=2016．

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到结论．

解答 解：函数的导数g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函数g（x）关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，
∴g（x）+g（1-x）=2，
故设g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=m，
则g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…+g（$\frac{1}{2007}$）=m，
两式相加得2×2016=2m，
则m=2016．
故答案为：2016

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．