Question

已知函数f(x)＝x²－4，设曲线y＝f(x)在点(x_n，f(x_n))
处的切线与x轴的交点为(x_n＋1,0)(n∈N_＋)，其中x₁为正实数．
(1)用x_n表示x_n＋1；
(2)求证：对一切正整数n，x_n＋1≤x_n的充要条件是x₁≥2；
(3)若x₁＝4，记a_n＝lg ，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

（1）x_n＋1＝（2）见解析（3）x_n＝

(1)由题意可得f′(x)＝2x，
所以过曲线上点(x_n，f(x_n))的切线方程为
y－f(x_n)＝f′(x_n)(x－x_n)，即y－(－4)＝2x_n(x－x_n)．
令y＝0，得－(－4)＝2x_n(x_n＋1－x_n)．
即＋4＝2x_nx_n＋1.显然x_n≠0，∴x_n＋1＝.
(2) (必要性)若对一切正整数n，有x_n＋1≤x_n，则x₂≤x₁，
即≤x₁，∴≥4.而x₁>0，即有x₁≥2.
(充分性)若x₁≥2>0，由x_n＋1＝，
用数学归纳法易得x_n>0，从而x_n＋1＝≥2＝2(n≥1)，
即x_n≥2(n≥2)．又x₁≥2，∴x_n≥2(n≥1)．
于是x_n＋1－x_n＝－x_n＝＝≤0.?
即x_n＋1≤x_n对一切正整数n成立．
(3)x_n＋1＝，知x_n＋1＋2＝，
同理，x_n＋1－2＝.故＝()².
从而lg＝2lg，即a_n＋1＝2a_n.所以，数列{a_n}成等比数列，
故a_n＝2^n－1a₁＝2^n－1·lg ＝2^n－1lg 3，
即lg ＝2^n－1lg 3.从而＝32^n－1，所以x_n＝.