Question

市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)．目前该商品定价为每个a元，统计其销售数量为b个．
(1)当k＝时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？
(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围.

Answer 1

(1) ab.(2) 0<k<1

由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ [－kx²＋100(1－k)x＋10000]．
(1)当k＝时，y＝ (－x²＋50x＋10000)＝ [22500－(x－50)²]，
因此当x＝50，即价格上涨50%时，y取最大值ab.
(2)y＝[－kx²＋100(1－k)x＋10000]，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝.
在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时，y也增大，因此 >0，解得0<k<1.