Question

15．已知函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y-1=0垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）=f（x）+2x²-x-2，且当x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m-3e恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a的值；
（2）求得g（x）的表达式，求得导数，以及单调区间，可得最大值，由题意可得g（x）_max≤2m-3e，解不等式可得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2的导数为
f′（x）=（2x-2）lnx+x-2+2ax，
可得在点（1，f（1））处的切线斜率为2a-1，
由切线与直线x-3y-1=0垂直，可得2a-1=-3，
解得a=-1；
（2）g（x）=f（x）+2x²-x-2=（x²-2x）lnx-x²+2+2x²-x-2
=（x²-2x）lnx+x²-x，
可得g′（x）=（2x-2）lnx+3x-3=（x-1）（2lnx+3），
当x∈（e^-2，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）时，g′（x）＞0，g（x）递增；
x∈（1，e）时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x∈（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减．
由g（e）=2e²-3e＞g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）=2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$e^-3，可得
2e²-3e≤2m-3e，解得m≥e²．
即有m的范围是[e²，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．