【题目】已知函数,当
时,
取得极小值
.
(1)求的值;
(2)记,设
是方程
的实数根,若对于
定义域中任意的
,
.当
且
时,问是否存在一个最小的正整数
,使得
恒成立,若存在请求出
的值;若不存在请说明理由.
(3)设直线,曲线
.若直线
与曲线
同时满足下列条件:
①直线与曲线
相切且至少有两个切点;
②对任意都有
.则称直线
与曲线
的“上夹线”.
试证明:直线是曲线
的“上夹线”.
【答案】(1),
;(2)答案见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由题意可得,
,据此可得
的值,然后验证所得的结果满足题意即可;(2)首先由函数的单调性确定
的值,然后求得函数
的最大值和最小值,结合恒成立的条件即可确定
的值; (3)由题意首先证得直线
与曲线
相切且至少有两个切点,然后令
,
,易证明
,据此即可证明直线
是曲线
的“上夹线”.
(1)由已知,于是得:
,
代入可得:,
.
此时,.所以
.
当时,
;当
时,
.
所以当时,
取得极小值
,即
,
符合题意.
(2),则
.所以
单调递增,又
.
为
的根,即
,也即
.
,
.
,
所以存在这样最小正整数使得
恒成立.
(3)由,得
,
当时,
.
此时,
所以是直线
与曲线
的一个切点,
当,此时,
.
所以也是直线
与曲线
的一个切点,
即直线与曲线
相切且至少有两个切点,
对任意,
.
即,因此直线
是曲线
的“上夹线”.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为立方米,且分上下两层,其中上层是半径为
(单位:米)的半球体,下层是半径为
米,高为
米的圆柱体(如图).经测算,上层半球体部分每平方米建造费用为2千元,下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元,设每座帐篷的建造费用为
千元.
参考公式:球的体积,球的表面积
,其中
为球的半径.
(1)求关于
的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)当半径为何值时,每座帐篷的建造费用最小,并求出最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】 下列结论错误的是
A. 命题:“若,则
”的逆否命题是“若
,则
”
B. “”是“
”的充分不必要条件
C. 命题:“,
”的否定是“
,
”
D. 若“”为假命题,则
均为假命题
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆(
)的左、右焦点为
,右顶点为
,上顶点为
.已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段
为直径的圆经过点
,经过原点
的直线
与该圆相切,求直线
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,点
满足
,记点
的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
,且与轨迹
相交于
两点.
(1)求轨迹的方程;
(2)求斜率的取值范围;
(3)在轴上是否存在定点
,使得无论直线
绕点
怎样转动,总有
成立?如果存在,求出定点
;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形
是梯形,
∥
,
,平面
平面
,且
.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)已知点在棱
上,且异面直线
与
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
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