Question

【题目】已知长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点，且斜率不为零的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数？若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为，当定点为时，常数为

【解析】

（1）设，，，利用向量关系坐标化，可得曲线的方程；

（2）由题意设直线的方程为，，，假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，将表示成关于的函数，利用恒成立问题，可得定点坐标.

（1）设，，，

由于，所以，

即，所以.又因为，所以，

从而，即曲线的方程为.

（2）由题意设直线的方程为，，，

由得，所以，

故，.

假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则

.

当，且时，为常数，解得.

显然当时，常数为；当时，常数为.

所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为，当定点为时，常数为.