Question

【题目】在如图所示的几何体中，是等边三角形，四边形是等腰梯形，，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过面面垂直，结合，即可推证线面垂直；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系；通过求解两个平面的法向量即可求得二面角的余弦值.

（1）证明：在等腰梯形中，过点C作交AB于点E，

设BC长为1，则，，，，

可得，即

所以，

因为面与面交线为，

又平面，

所以平面.

（2）过点C作平面，

以点C为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则 ，即

取，则，，

得.

取平面的法向量为，，

所以，

由图形知该二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.