Question

【题目】已知函数的图象在处的切线方程是.

（1）求的值；

（2）若函数，讨论的单调性与极值；

（3）证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.

【解析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；

（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.

（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.

解：（1）函数的定义域为

由已知得，则，解得.

（2）由题意得，则.

当时，，所以单调递减，

当时，，所以单调递增，

所以，单调递减区间为，单调递增区间为，

的极小值为，无极大值.

（3）要证成立，

只需证成立.

令，则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以的极大值为，即

由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即.

所以，.