Question

【题目】已知函数且.

（1）求实数的值；

（2）令在上的最小值为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，

令，由于，故 ，

可证：在上单调递增；在上单调递减.故合题意.

（2）由（1）知 ，

所以，

令，可证，使得，且当时，；当时，，进而证明 ，

即.
试题解析：（1）法1：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，

令，则，

当时，，故在上单调递增，

由于，所以当时，，不合题意.

当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即 .

所以要使在时恒成立，则只需，

亦即，

令，则，

所以当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增.

又，所以满足条件的只有2，

即.

法2：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，

令，由于，故 ，

所以为函数的最大值，同时也是一个极大值，故.

又，所以，

此时，当时，，当时，，

即：在上单调递增；在上单调递减.

故合题意.

（2）由（1）知 ，

所以，

令，则，

由于，所以，即在上单调递增；又，，

所以，使得，且当时，；当时，，

即在上单调递减；在上单调递增.

所以 .（∵）

即，所以 ，

即.