Question

【题目】设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+1的导函数为f（x）=3ax（x-2），若函数y=f（x）共有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据导数的公式求出a，b，c的关系以及函数的解析式，求函数的极值，根据极值和零点的关系进行求解即可．

∵f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax(x-2)=3ax2-6ax，

∴2b=-6a,c=0,即b=-3a,c=0,则f(x)=ax3-3ax2+1,

①若a＞0,则由f′(x)=3ax(x-2)＞0得x＞2或x＜0,

由f′(x)＜0得0＜x＜2,则函数在x=0时取得极大值f(0)=1,

在x=2时,函数取得极小值f(2)=8a-12a+1=1-4a,

若函数y=f(x)共有三个不同的零点,则f(2)=1-4a＜0,解得a＞.

②若a＜0,则由f′(x)=3ax(x-2)＜0得x＞2或x＜0,

由f′(x)＞0得0＜x＜2,则函数在x=0时取得极小值f(0)=1,

在x=2时,函数取得极大值f(2)=8a-12a+1=1-4a，

则此时函数y=f（x）只有1个零点,不满足条件.

综上a＞.

故选:C.