【题目】椭圆:
的离心率为
,抛物线
:
截
轴所得的线段长等于
.
与
轴的交点为
,过点
作直线
与
相交于点
直线
分别与
相交于
.
(1)求证:;
(2)设,
的面积分别为
,若
,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)由题意可求得椭圆的方程为
.直线
的方程为
(
存在),
,
.联立直线方程与抛物线方程可得
,,韦达定理计算可得
,则
.
(2)由(1)可知和
均为直角三角形,设直线
方程为
,与抛物线方程联立可得
,同理可得
,则
.同理求得
,则
,故
的取值范围是[
,+∞).
试题解析:
(1)由题设得,∴
,又
,∴
,解得
.
因此椭圆的方程为
.由抛物线
的方程为
,得
.
设直线的方程为
(
存在),
,
.
于是由消去
得
,∴
,①
∴
∴将①代入上式得
,
故.
(2)由(1)知,,∴
和
均为直角三角形,设直线
方程为
,直线
方程为
,且
,由
解得
或
,∴
,同理可得
,
∴.
由解得
或
,∴
,
同理可得,
∴,
∴
又∵
>0,∴
≥
.
故的取值范围是[
,+∞).
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【题目】已知长度为的线段
的两个端点
、
分别在
轴和
轴上运动,动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线
与曲线
交于两点
、
,在
轴上是否存在定点
,使得直线
与
的斜率之积为常数.若存在,求出定点
的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.
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【题目】设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数为f(x)=3ax(x-2),若函数y=f(x)共有三个不同的零点,则a的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数.
(1)如图,设直线将坐标平面分成
四个区域(不含边界),若函数
的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的
的取值范围;
(2)当时,求证:
且
,有
.
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【题目】如图,在平面四边形ABCD中,已知A=,B=
,AB=6.在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=
,EC=
.
(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数且
)曲线
的参数方程为
(
为参数,且
),以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为:
,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求与
的交点到极点的距离;
(2)设与
交于
点,
与
交于
点,当
在
上变化时,求
的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平形四边形,设
,
平面
,点
为
的中点,且
,
.
(1)若,求二面角
的正切值;
(2)是否存在使
,若存在求出
,若不存在请说明理由.
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