【题目】如图所示,在几何体中,四边形是菱形,平面,,且,.
(1)证明:平面平面;
(2)若二面角是直二面角,求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)通过证明,,证明平面,再得到平面⊥平面.
(2)以为轴和轴,建立空间直角坐标系,设,求出平面的法向量和平面的法向量,利用二面角是直二面角求出,得到与的坐标,利用向量夹角公式,得到答案.
(1)证明:四边形是菱形,
平面,
而
平面,平面,
平面⊥平面
(2)设与的交点为,由(1)得,
如图:分别以为轴和轴,过点作垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.设,
则,
,,.
设是平面的法向量,则,
即,
令,平面AEF的一个法向量为
同理设,是平面的法向量,则
得平面的一个法向量为,
二面角是直二面角,
,.
,
设异面直线与所成角为
故所求异面直线与所成角为的余弦值为.
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【题目】已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求的值域;
(3)求的递增区间
(4)求的对称轴;
(5)求的对称中心;
(6)的三边a,b,c满足,且b所对的角为x,求x的取值范围及函数的值域.
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【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
经计算得==9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.0.997 416≈0.959 2,≈0.09.
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【题目】设动点到定点的距离比它到轴的距离大,记点的轨迹为曲线.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若圆心在曲线上的动圆过点,试证明圆与轴必相交,且截轴所得的弦长为定值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程(为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为: .
(1)把直线的参数方程化为极坐标方程,把曲线的极坐标方程化为普通方程;
(2)求直线与曲线交点的极坐标(≥0,0≤).
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【题目】近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( )
①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013-2018年这6年中,2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016-2018年这3年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A.①③B.②③C.①②D.①②③
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【题目】椭圆: 的离心率为,抛物线:截轴所得的线段长等于.与轴的交点为,过点作直线与相交于点直线分别与相交于.
(1)求证:;
(2)设,的面积分别为,若 ,求的取值范围.
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