Question

【题目】已知函数（），其中为自然对数的底数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）已知， 为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据m范围确定导函数零点，根据导函数符号确定单调性，（2）先分离得，再利用导数研究函数单调性（隐零点），根据单调性求最小值，根据极值条件化简最小值，最后根据最小值范围确定k范围，进而确定的最大值．

试题解析：解：（1）由题意得，函数的定义域为， ．

若，则，所以函数在区间上单调递减；

若，则当时， ，当时， ，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（2）当时，对任意，都与恒成立，等价于对任意的恒成立，

令，则，

由（1）知，当时， 在区间上单调递减．

因为， ，

所以在区间上存在唯一零点，

∴在区间上也存在唯一零点，

设此零点为，则.

因为当时， ，

当时， ，

所以在区间上的最小值为，

所以.

又因为 ，

所以，

所以.

又因为为整数，且，

所以的最大值是2．