Question

【题目】定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.

已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：

(1)若，，求数列的通项公式；

(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；

(3)若，数列是等比数列，求的数值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：(1)根据题意，由，，代入.

可求得，．

(2)由 ，代入，

可得，．即可证明数列是首项为公差为的等差数列．

(3).由题意可得). 由是等比数列，且，设公比为，则.

可证明当， 和时均不成立.故 ，().

根据数列是等比数列，有..根据

可化为

，. 可知关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根.可证明，，. 由，得. 把，代入可得.．

试题解析：(1)根据题意，有.

由，，得

，.

所以，．

(2) ，，

∴，，/span>．

∴，．

∴数列是首项为、公差为的等差数列．

(3) ， ，

由，得.

是等比数列，且，设公比为，则.

∴当，即，与矛盾．因此，不成立.

当，即，与矛盾．因此，不成立.

，即数列是常数列，于是，().

.

，数列也是等比数列，设公比为，有.

可化为

，.

，

关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根.

一方面，()是方程的根；另一方面，

若，则无穷多个互不相等的 都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！

，即数列也是常数列，于是，，.

　 由，得.

把，代入解得. ．