Question

【题目】己知函数， ＋1．

（1）若，曲线y＝f（x）与在x＝0处有相同的切线，求b；

（2）若，求函数的单调递增区间；

（3）若对任意恒成立，求b的取值区间

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）当时，曲线与在处的有相同的切线方程，可得，即可求的值；（2）设,求出， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间；（3）当时，令，分两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，求出最大值 ，进而可得结果.

试题解析：（1） ， ， ， ，

f(x) 与g(x) 在x＝0处有相同的切线， .

（2）若，则y＝f(x)g(x)= ，

所以

又，

所以函数y＝f(x)g(x)的单调递增区间为

（3） 由a＝0，则， ，

①当时， ，函数在单调递增，

又， 时， ，即恒成立.

②当时， ， ； ，

函数在单调递减； 单调递增，

（ⅰ）当时， ，又， ，

而当时， ，则，

与相矛盾.

（ⅱ）当时， ， 函数在单调递减，

，与矛盾.

故的取值区间为.

【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.