Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为（﹣∞，+∞），

则f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x），

则f（x）为奇函数．

（2）解：f（x）= = =1﹣ ，

则f（x）在R上的单调性递增，

证明：设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=1﹣ ﹣（1﹣ ）=（ ﹣ ）= ，

∵x1＜x2，

∴ ＜ ，

∴ ﹣ ＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），即函数为增函数

（3）解：若存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立，

则f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x）．

即x2﹣t2≥t﹣x．

即x2+x≥t2+t恒成立，

设y=x2+x=（x+ ）2﹣ ，

∵x∈[1，2]，

∴y∈[2，6]，

即t2+t≤2，

即t2+t﹣2≤0．

解得﹣2≤t≤1，

即存在实数t，当﹣2≤t≤1时使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立．

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．