【题目】已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为、
,当动点
在定直线
上运动时,直线
分别交椭圆于两点
、
,求四边形
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ) 离心率为
,以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为
,结合
,列方程组求得
的值,即可求出椭圆
的方程;(Ⅱ)点
,直线
的方程
代入椭圆方程
,得
,利用韦达定理解出
点坐标,同理可求得
点的坐标,利用三角形面积公式将四边形面积表示为
的函数,利用换元法结合函数单调性求解即可.
试题解析:(Ⅰ)由题设知, ,
又,解得
,
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ)由于对称性,可令点,其中
.
将直线的方程
代入椭圆方程
,得
,
由,
得
,则
.
再将直线的方程
代入椭圆方程
,得
,
由,
得
,则
.
故四边形的面积为
.
由于,且
在
上单调递增,故
,
从而,有.
当且仅当,即
,也就是点
的坐标为
时,四边形
的面积取最大值6.
注:本题也可先证明”动直线恒过椭圆的右焦点
”,再将直线
的方程
(这里
)代入椭圆方程
,整理得
,然后给出面积表达式
,令
,
则,当且仅当
即
时,
.
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【题目】一个口袋中装有个红球
且
和
个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.
(1)用表示一次摸奖中奖的概率
;
(2)若,设三次摸奖(每次摸奖后球放回)恰好有
次中奖,求
的数学期望
;
(3)设三次摸奖(每次摸奖后球放回)恰好有一次中奖的概率,当
取何值时,
最大?
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【题目】下面有命题: ①y=|sinx﹣ |的周期是π;
②y=sinx+sin|x|的值域是[0,2];
③方程cosx=lgx有三解;
④ω为正实数,y=2sinωx在 上递增,那么ω的取值范围是
;
⑤在y=3sin(2x+ )中,若f(x1)=f(x2)=0,则x1﹣x2必为π的整数倍;
⑥若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB﹣sinA,sinB﹣cosA在第二象限;
⑦在△ABC中,若 ,则△ABC钝角三角形.其中真命题个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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【题目】某厂生产某产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本
(万元),若年产量不足
千件,
的图像是如图的抛物线,此时
的解集为
,且
的最小值是
,若年产量不小于
千件,
,每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完;
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)是否存在实数t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为矩形,侧面
为正三角形,且平面
平面,
为
中点,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若二面角的平面角大小
满足
,求四棱锥
的体积.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点.若点
的极坐标为
,直线
经过点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
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