Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面 平面， 为中点， .

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由正三角形性质可得，再利用面面垂直的性质定理得平面，从而，则 ，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量以及平面的法向量，根据二面角的平面角大余弦值列方程求出，利用棱锥的体积公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）取中点为， 中点为，

由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，

又，则平面，所以，

又，则，又是中点，则，

由线面垂直的判定定理知平面，

又平面，故平面平面.

（Ⅱ）

如图所示，建立空间直角坐标系，

令，则.

由（Ⅰ）知为平面的法向量，

令为平面的法向量，

由于均与垂直，

故即解得

故，由 ，解得.

故四棱锥的体积.

【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.