Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点.若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.

Answer 1

【答案】(1); 线的直角坐标方程为;(2).

【解析】试题分析：（1）直线的参数方程中的参数为，所以消得到直线的普通方程；根据，，极坐标方程两边同时乘以，化简为曲线的普通方程；（2）根据直线过点,可知直线的倾斜角，代入直线的参数方程，得到，代入曲线的极坐标方程，转化为关于的一元二次方程，根据的几何意义可知.

试题解析：（1）∵直线的参数方程为（为参数），

∴直线的普通方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由，得，即，

∴曲线的直角坐标方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）∵点的极坐标为，∴点的直角坐标为．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴，直线的倾斜角．

∴直线的参数方程为（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

代入，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

设两点对应的参数为．

∵为线段的中点，

∴点对应的参数值为．

又点，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分