Question

【题目】如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与相交于两点，且线段被直线平分.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积取最大值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为；（2）直线的方程为.

【解析】试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得： ， 所求椭圆的方程为： .（2）易得直线的方程： ，用点差法得到，设直线的方程为： ，与椭圆方程联立得，由得到的取值范围；由弦长公式，点到直线的距离表示出面积，即可求出直线的方程．

试题解析：（1）由题： ；

左焦点到点的距离为： .

由可解得： .

所求椭圆的方程为： .

（2）易得直线的方程： ，设.其中.

、在椭圆上，

.

设直线的方程为： ，

代入椭圆： .

显然.

且.

由上又有： .

.

点到直线的距离为： .

，

当且仅当时，三角形的面积最大，此时直线的方程.