【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的极值;
(Ⅱ)设函数.当
时,若区间
上存在
,使得
,求实数
的取值范围.(
为自然对数底数)
【答案】(1) 极小值为
;(2) 实数
的取值范围为
.
【解析】试题分析:(1)根据函数的切线的几何意义,得到,即
,解得
.从而得到导函数,再研究导函数的正负,得到原函数的单调性从而得到极值;(2)构造函数令
,只需在区间
上
的最小值小于零,转化为函数最值问题。对构造的函数求导,研究单调性求最值即可。
(1),
因为曲线在点
处的切线与直线
的垂直,
所以,即
,解得
.
所以.
∴当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增;
∴当时,
取得极小值
,
∴极小值为
.
(2)令
,
则,欲使在区间上
上存在
,使得
,
只需在区间上
的最小值小于零.
令得,
或
.
当,即
时,
在
上单调递减,则
的最小值为
,
∴,解得
,
∵,∴
;
当,即
时,
在
上单调递增,则
的最小值为
,
∴,解得
,∴
;
当,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
则的最小值为
,
∵,∴
.
∴,此时
不成立.
综上所述,实数的取值范围为
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【题目】已知圆心为C的圆经过O(0,0))和A(4,0)两点,线段OA的垂直平分线和圆C交于M,N两点,且|MN|=2
(1)求圆C的方程
(2)设点P在圆C上,试问使△POA的面积等于2的点P共有几个?证明你的结论.
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【题目】如图,椭圆的离心率为
,其左焦点到点
的距离为
.不过原点
的直线
与
相交于
两点,且线段
被直线
平分.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的面积取最大值时直线
的方程.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA面ABCD,且AB=2,AD=4,
AP=4,F是线段BC的中点.
⑴ 求证:面PAF面PDF;
⑵ 若E是线段AB的中点,在线段AP上是否存在一点G,使得EG面PDF?若存在,求出线段AG的长度;若不存在,说明理由.
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【题目】定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=0;②f(x)+f(1﹣x)=1;③f( )=
f(x);④当0≤x1<x2≤1时,f(x1)≤f(x2).则f(
)= .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心,单位长度为半径的圆上有两点A( ,
),B(
,
). (Ⅰ)求
,
夹角的余弦值;
(Ⅱ)已知C(1,0),记∠AOC=α,∠BOC=β,求tan 的值.
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