Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，（n+1）a_n+1=na_n（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=$\frac{2}{n+1}$a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，（n+1）a_n+1=na_n（n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．当n≥2时，a_n=${a}_{1}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，即可得出；
（2）b_n=$\frac{2}{n+1}$a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可证明．

解答 （1）解：∵a₁=1，（n+1）a_n+1=na_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴当n≥2时，a_n=${a}_{1}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$×…×$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$，当n=1时也成立，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）证明：b_n=$\frac{2}{n+1}$a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n}）$＜2．
∴T_n＜2．

点评 本题考查了数列的通项公式、“裂项求和”、“累乘求积”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．