Question

已知函数f（x）=sin2x+2sin（

π

4

-x）•cos（

π

4

-x）
（1）求函数f（x）的最小正周期；    
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（3）借助”五点作图法”画出函数f（x）在[0，

7π

8

]上的简图，并且依图写出函数f（x）在[0，

7π

8

]上的递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据诱导公式、两角和的正弦函数公式化简解析式，再求出函数的周期；
（2）由x的范围求出2x+

π

4

∈[

π

12

，

5π

4

]，根据正弦函数的性质求出函数的最小值、最大值，即可求出函数的值域；
（3）由条件列出表格、再描点连线画出函数的图象，根据图象写出递增区间．

解答： 解：（1）∵f （x）=sin 2x+sin （

π

2

-2x）
=sin 2x+cos2x
=

2

（

2

2

sin 2x+

2

2

cos 2x）
=

2

（sin 2x cos 

π

4

+cos 2x sin 

π

4

）
=

2

sin （2x+

π

4

）
∴函数的周期T=

2π

2

=π     …（4分）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

12

，

5π

4

]，
当2x+

π

4

=

π

2

时，f（x）取最大值

2

，
当2x+

π

4

=

5π

4

时，f（x）取最小值

2

sin

5π

4

=-1，
∴函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-1，

2

]…（8分）
（3）列表

μ=2x+ π 4	π 8	π 2	π	3π 2	2π
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
y	1	2	0	- 2	0

…（10分）
图象如右图所示，注意f（0）=1…（12分）
由图得，
函数在区间[0，

7π

8

]上的单调递增区间是[0，

π

8

]，[

5π

8

，

7π

8

]…（14分）

点评：本题考查诱导公式、两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及五点作图法，属于中档题．