Question

已知A、B、C是△ABC的三内角，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA+1，sinA），且

m

⊥

n

．
（1）求角A；
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质、两角和差正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0．
∴-（cosA+1）+

3

sinA=0，化为2sin(A-

π

6

)=1，
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

．
∵0＜A＜π，∴-

π

6

≠A-

π

6

＜

5π

6

，∴A-

π

6

=

π

6

，解得A=

π

3

．
（2）由

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，化为sin²B-sinBcosB-2cos²B=0，
∵cosB≠0，∴tan²B-tanB-2=0，
∴tanB=2或tanB=-1；
而tanB=-1使cos²B-sin²B=0，故应舍去
，∴tanB=2，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2+ 3

1-2 3

=

8+5 3

11

．

点评：本题考查了数量积运算性质、两角和差正弦公式、正弦函数的单调性、同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．