Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆

x2

4

+

y2

2

=1于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
（1）当k=2时，求点P到直线AB的距离；
（2）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

），于是C（

2

3

，0），由此能求出点P到直线AB的距离．
（2）设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，A（-x₁，-y₁），C（x₁，0），kPA=

y1

x1

，kPB=

y1-y2

x1-x2

，利用点差法能证明PA⊥PB．

解答： （1）解：直线PA的方程为y=2x，
代入椭圆方程得

x2

4

+

4x2

2

=1，
解得x=±

2

3

，
因此P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

），
于是C（

2

3

，0），直线AC的斜率为

0+ 4 3

2 3 + 2 3

=1，
故直线AB的方程为x-y-

2

3

=0．
因此，点P到直线AB的距离为

| 2 3 - 4 3 - 2 3 |

12+12

=

2 2

3

．
（2）证明：设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，A（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
设直线PA，PB的斜率分别为k_PA，k_PB，
kPA=

y1

x1

，kPB=

y1-y2

x1-x2

，
∵

x12

4

+

y12

2

=1，①，

x22

4

+

y22

2

=1，②
①-②得：

y12-y22

x12-x22

=

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-

1

2

，
∵k_AB=

y1+y2

x1+x2

=k_AC=

y1

2x1

，
∴k_PA•k_PB=-1，
∴PA⊥PB．

点评：本题考查点到直线的距离的求法，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．