Question

已知函数f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R）是奇函数
（1）求实数a的值；  
（2）判断并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，根据函数为奇函数，f（0）=0，可以求解实数a的值；
（2）利用单调性的定义直接进行证明即可．

解答： 解：（1）∵函数为奇函数，
∴f（0）=0，
即

a•20+a-2

20+1

=

2a-2

2

=a-1=0，
解得a=1，
∴a=1．
（2）根据（1），得
函数f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
它在R上为单调增函数．证明如下：
任设x₁，x₂?R，x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在R上为单调增函数．

点评：本题重点考查了函数的奇偶性和单调性，利用单调性的定义证明问题时，一定要分解到足以判断符号为止，切不可随意判断符合，导致不该出现的错误．