Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱A₁B₁，A₁A的中点．
（Ⅰ）判定D，C₁，E，F是否在同一平面上？若在同一平面上，请加以证明，若不在同一平面上，请说明理由；
（Ⅱ）已知正方体的棱长为2，沿平面EFD₁截去三棱锥A₁-EFD₁；
（i）求余下几何体的体积；
（ii）求余下几何体的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,平面的基本性质及推论

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明EF∥DC₁，可得D，C₁，E，F四点在同一个平面上；
（Ⅱ）（i）求出三棱锥A₁-EFD₁的体积，即可求余下几何体的体积；
（ii）求出△D₁EF的面积，即可求余下几何体的表面积．

解答： 解：（I）答：D，C₁，E，F四点在同一个平面上…（1分）
证明：连结AB₁，由E，F分别为棱A₁B₁，A₁A的中点，所以EF∥AB₁，
又由正方体知AB₁∥DC₁，
由平行公理得EF∥DC₁，因此，D，C₁，E，F四点在同一个平面上…（4分）
（II）（i）由三棱锥A₁-EFD₁的体积V1=

1

3

(

1

2

×1×1)×2=

1

3

…（6分）
所以，余下几何体的体积V=V_正方体-V₁=23-

1

3

=

23

3

…（8分）
（ii）依题意可得D1F=D1E=

5

，在△D₁EF中，过D₁作D₁H垂直于EF，垂足为H，则D1H=

5- 1 2

=

3 2

2

，所以△D₁EF的面积S△D1EF=

1

2

×

2

×

3 2

2

=

3

2

…（10分）
余下几何体的表面积S=.3×22+(3×22-1-1-

1

2

)+

3

2

=23…（12分）

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．