Question

设f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期T=π，最大值f（

π

12

）=4．
（1）求ω，a，b的值；
（2）若α，β为方程f（x）=0的两根，α，β终边不共线，求tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由f(x)=

a2+b2

sin(ωx+ϕ)，T=π=

2π

ω

，求得ω=2．再根据f（x）的最大值为f（

π

12

）=4，可得4=

a2+b2

①，且asin

π

6

+bcos

π

6

=4 ②，由①、②解出a、b的值．
（2）由题意可得f（α）=f（β）=0，故有4sin(2α+

π

3

)=4sin(2β+

π

3

)，由此求得α+β=kπ+

π

6

，k∈z，可得tan（α+β）的值．

解答： 解：（1）由于f(x)=

a2+b2

sin(ωx+ϕ)，∴T=π=

2π

ω

，∴ω=2．
又∵f（x）的最大值为f（

π

12

）=4，∴4=

a2+b2

①，且asin

π

6

+bcos

π

6

=4 ②，
由 ①、②解出  a=2，b=2

3

，f（x）=2sin2x+2

3

cos2x．
（2）∵f(x)=2sin2x+2

3

cos2x=4sin(2x+

π

3

)，∴由题意可得f（α）=f（β）=0，∴4sin(2α+

π

3

)=4sin(2β+

π

3

)，
∴2α+

π

3

=2kπ+2β+

π

3

，或  2α+

π

3

=2kπ+π-(2β+

π

3

)，
即α=kπ+β（α，β共线，故舍去）或α+β=kπ+

π

6

，∴tan(α+β)=tan(kπ+

π

6

)=

3

3

（k∈Z）．

点评：本题主要考查三角恒等变换，三角函数的周期性，解三角方程，属于基础题．