Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+

1

2

bn=1．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，设{c_n}的前n项和S_n，求证：S_n＜4．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，b1=

2

3

，当n≥2时，bn=

1

3

bn-1，由此能证明{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）b_n=

2

3

•(

1

3

)-1=2•(

1

3

)n，a_n=2+4（n-1）=4n-2，从而c_n=a_n•b_n=(8n-4)•(

1

3

)n，由此利用错位相减法能证明S_n＜4．

解答： （Ⅰ）证明：当n=1时，b₁=T₁，
由T1+

1

2

b1=1，解得b1=

2

3

，
当n≥2时，∵T_n=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
∴b_n=T_n-T_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴bn=

1

3

bn-1，
∴{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b_n=

2

3

•(

1

3

)-1=2•(

1

3

)n，
∵数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，
∴

a1+d=6 a1+4d=18

，解得a₁=2，d=4，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2，
∴c_n=a_n•b_n=(8n-4)•(

1

3

)n，
∴S_n=4×(

1

3

)+12×(

1

3

)2+…+(8n-4)×(

1

3

)n，①

1

3

Sn=4×(

1

3

)2+12×(

1

3

)3+…+(8n-4)×(

1

3

)n+1，②
①-②，得：

2

3

Sn=4×

1

3

+8×(

1

3

)2+8×(

1

3

)3+…+8×(

1

3

)n-(8n-4)×(

1

3

)n+1
=

4

3

+8×

( 1 3 )2[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(8n-4)×(

1

3

)n+1，
∴Sn=4-4(n+1)•(

1

3

)n，
∵4(n+1)•(

1

3

)n＞0，
∴S_n＜4．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和小于4的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．