Question

已知a≤0，P是椭圆

x2

4

+y²=1上的任一点，M（a，0），若|PM|的最小值为1，则a=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设P（2cosα，sinα），运用两点间的距离公式，化简整理，配方，考虑-1≤cosα≤1，

2a

3

≤0．讨论当

2a

3

＜-1，-1≤

2a

3

≤0，分别求出最小值，解出a．

解答： 解：可设P（2cosα，sinα），则|PM|=

(2cosα-a)2+sin2α

=

3cos2α-4acosα+a2+1

=

3(cosα- 2a 3 )2+1- a2 3

由于-1≤cosα≤1，

2a

3

≤0．
当

2a

3

＜-1，将cosα=-1代入得最小值，即

4+a2+4a

=1，解得a=-3（-1舍去）；
当-1≤

2a

3

≤0，则

1- a2 3

=1，解得a=0．
故答案为：-3或0．

点评：本题考查椭圆方程的运用，主要是参数方程的运用，考查两点间的距离，可化为二次函数的最值问题，属于中档题．