Question

12．已知A，B分别为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右顶点，不同两点P，Q在双曲线上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为k₁，k₂，当$\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$取最小值时，双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：-$\frac{1}{2{k}_{1}{k}_{2}}$+ln丨k₁丨+ln丨k₁丨=$\frac{1}{2{k}_{1}^{2}}$+ln${k}_{1}^{2}$，令t=${k}_{1}^{2}$，t＞0，设g（t）=$\frac{1}{2t}$+lnt，求导，求得函数的单调性，由t=$\frac{1}{2}$时，g（t）取最小值，由基本不等式的性质可知$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$b，当a=$\sqrt{2}$b，k₁=-k₂=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$取最小值时，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

解答 解：由题意可知：k₁=-k₂≠0，
∴-$\frac{1}{2{k}_{1}{k}_{2}}$+ln丨k₁丨+ln丨k₁丨=$\frac{1}{2{k}_{1}^{2}}$+ln${k}_{1}^{2}$，
令t=${k}_{1}^{2}$，t＞0，
设g（t）=$\frac{1}{2t}$+lnt，
则g′（x）=$\frac{2t-1}{2{t}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴g（t）单调递增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），单调递减区间为（0，$\frac{1}{2}$），
∴当t=$\frac{1}{2}$时，即k₁=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，g（t）取最小值，
∴$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$b，
∴$\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$当且仅当t=$\frac{1}{2}$，a=$\sqrt{2}$b时等号，
∴$\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}-\frac{1}{{2{k_1}{k_2}}}+ln|{k_1}|+ln|{k_2}|$取最小值，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．