Question

（2007•浦东新区二模）如图，小正三角形沿着大正三角形的边，按逆时针方向无滑动地滚动．小正三角形的边长是大正三角形边长的一半，如果小正三角形沿着大正三角形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量

OA

围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正三角形的中心，则sin

θ

6

+cos

θ

6

=

-1

．

Answer 1

分析：当小正三角形经过大正三角形的顶点时，例如第一次滚动情形，整个小正三角形逆时针旋转240°，从而向量

OA

围绕着点O旋转了240°角，此类情况共有3次．当小正三角形在大正三角形边上滚动时，例如第二次滚动情形，整个小正三角形逆时针旋转120°，从而向量

OA

围绕着点O旋转了120°，类情况共有3次．求出θ
，再代入求值．

解答：解：当小正三角形经过大正三角形的顶点时，例如第一次滚动情形，
整个小正三角形逆时针旋转240°，从而向量

OA

围绕着点O旋转了240°角，此类情况共有3次．
当小正三角形在大正三角形边上滚动时，例如第二次滚动情形，
整个小正三角形逆时针旋转120°，从而向量

OA

围绕着点O旋转了120°，类情况共有3次．
∴θ=240°+120°+240°+120°+240°+120°=1080°
则sin

θ

6

+cos

θ

6

=sin180°+cos180°=-1
故答案为：-1

点评：本题的关键在于求θ，直接利用向量夹角比较复杂，因此采用了整体旋转法求旋转角度．