Question

4．设函数f（x）=|x²-a|（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果存在实数m，n（m＜n）是函数f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的和谐区间，设a＞0，若函数f（x）恰好有两个和谐区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，讨论a的取值，求出f（x）的单调区间；
（2）由f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]时，根据f（x）的单调性，列出对应的方程组，求出a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x²-a|（a∈R），
当a≤0时，f（x）=x²-a，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
单调递减区间为（-∞，0）；
当a＞0时，令f（x）=0，解得x=±$\sqrt{a}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为（$\sqrt{a}$，+∞），（-$\sqrt{a}$，0），
单调递减区间为（-∞，-$\sqrt{a}$），（0，$\sqrt{a}$）；
（2）假设存在实数m，n（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，
①若m＜n≤0，∵函数f（x）=|x²-a|≥0，∴结论不成立；
②若n＞m≥0，假设函数f（x）=|x²-a|在区间[m，n]上存在两个和谐区间，
∵f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上是减函数，（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-a=n}\\{{n}^{2}-a=m}\end{array}\right.$，消去a得m²-n²=n-m，
整理得（m-n）（m+n+1）=0；
因为m＜n，所以m+n+1=0，即m=-n-1＞0；∴n＜-1，不合题意，应舍去；
或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-a=m}\\{{n}^{2}-a=n}\end{array}\right.$，消去a得m²-n²=m-n，
整理得（m-n）（m+n-1）=0；
因为m＜n，所以 m+n-1=0，即 n=1-m．
又$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{1-m＞m}\end{array}\right.$，所以0≤m＜$\frac{1}{2}$；
因为a=m²-m=${（m-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，所以-$\frac{1}{4}$＜a≤0，不合题意，应舍去；
综上得，函数f（x）存在“和谐”区间时，a的取值范围是∅．

点评 本题考查了函数的单调性，新问题转化为函数的根的问题，求解难度较大，根据的关键是理解题意，把问题转化为求方程组或不等式组解的问题．